포아송(Poisson) 분포란
이산확률 분포중의 하나로 특정 시간, 단위, 공간등에서 발생하는 사건의 수를 나타낸 이산 확률 분포를 말한다.
사건은 셀 수 있는 유한한 수를 가지므로 이산 확률 분포에 들어간다.
모수를 나타내는 기호 λ(람다)는 단위 시간, 공간등에서 발생하는 사건의 평균 횟수를 이야기 한다.
ex) 사람들은 하루 (특정 구간) 에 평균 커피를 2잔 (사건 발생횟수) 마신다 하였을 때, λ = 2
포아송의 예시
A라는 편의점에 일정 시간 동안 방문한 고객 수
1킬로 미터 거리 사이에 있는 편의점의 수
하룻동안 발생하는 교통사고 수
※ 위처럼 특정 범위 안에서 사건이 발생하는 수를 나타내는 확률 분포를 포아송 분포라고 한다.
포아송 분포의 특징
1) 두 개 이상의 사건이 동시에 발생할 확률은 0에 근사한다.
2) 각 사건은 서로에게 영향을 주지않는 독립적인 사건이다.
3) 특정 구간에서의 사건 발생 확률은 그 구간의 크기에 비례한다.
4) 확률변수 X 가 n이 매우 크고 p가 매우 작은 경우 λ = np 인 포아송 분포로 근사가 가능하다.
예시로 각 특징들을 풀이 하자면,
1)하룻동안 발생하는 교통사고의 수 중 교통사고가 동일한 시,분,초에 발생할 확률은 0에 근사한다.
2)하룻동안 발생하는 교통사고들은 다른 교통사고가 발생하는데 영향을 주지않는 독립적인 사건이다.
3)하루중 사건 발생 확률은 구간이 클수록 즉, 시간이 클수록 확률이 올라간다.
ex) 하루 평균 100건의 교통사고가 발생 할때 0~1시 까지 발생할 확률 보다
0~2시 까지 사건이 발생할 확률이 높다.
4)포아송의 기준이 되는 λ 는 n이 매우 크고 p가 작은경우 n(회수) * p(확률)로 근사가 가능하다
ex) 1킬로 미터 거리를 다니면서 편의점을 본 횟수 n * 1킬로 미터 거리를 다니면서 편의점을 볼 확률 p
포아송 분포의 공식
포아송 예제)
- A회사에서는 하룻동안 제품을 생산할때 평균적으로 2개의 불량이 발생하는데 하룻동안 4개의 불량이 발생할 확률은 몇% 인가?
- 1년동안 한국에서는 100번의 지진이 발생하는데 2024년 1년동안 110번의 지진이 발생할 확률은 몇인가?
풀이)
- λ = 2인 포아송 분포에서 확률변수x 가 4일 때 확률은
2.λ = 100인 포아송 분포에서 확률변수x 가 110일 때 확률은
